Mots et chiffres

Fatrazie ] [ Mots et chiffres ] Courbes célèbres ] Fractales ] Magie des nombres ] Internaugraphie ] Les beaux sites ] Ludologues ] Ludographie ] Abdul présente ][Récréasites]

 


Transposition des contraintes de mots sur les chiffres
(adaptation d'un article écrit pour Jouer Jeux Mathématiques n°8 - 1993)


Des mots et des chiffres, Déchiffrés les modes,
Démodés les chiffres ? Défrichés les mots,
Des chiffres et des maux de ....tête

palindrome
lipogramme liponombres
monovocalisme
anagramme

hétérogramme
pangramme
boule de neige
combinatoire

Ag00004_.gif (9024 octets)

La conclusion de mon analyse sur Lewis Carroll insiste sur sa créativité et la liaison qu'il a su créer entre la logique mathématique et les jeux sur les mots, tout en gardant un caractère ludique à sa pédagogie.

Lewis Carroll peut donc être considéré comme un précurseur du mouvement oulipien.

Le 24 novembre 1960, Raymond Queneau et François Le Lionnais créaient l'OULIPO : OUvroir de LIttérature POtentielle avec la participation de Messieurs Schmidt, Queval, Lescure, Duchateau, Berge et Bens* et plus tard de personnalités comme Georges Perec, Luc Etienne, ou Italo Calvino. Cette création a été profondément marquée, et de toute évidence, par certains aspects des travaux de Bourbaki... et de Jarry. Il s'agissait en fait d'une des grandes sous-commissions du collège de 'Pataphysique.

L'OULIPO se proposait d'examiner en quoi et par quel moyen, étant donné une théorie scientifique concernant essentiellement le langage et donc l'anthropologie, on pouvait y introduire du plaisir esthétique, de l'affectivité et de la fantaisie. Les oulipiens sont en fait "des rats qui ont à conduire le labyrinthe dont ils se proposeront de sortir".

Créativité et humour président aux travaux de l'OULIPO dont les instigateurs sont logiciens, mathématiciens, artistes et donc créateurs.

Dans ces conditions et avec l'incitation de François le Lionnais, mathématicien ami des lettres et de Raymond Queneau, écrivain amateur de mathématiques, tous les transferts des outils mathématiques vers le langage sont envisageables et mis en pratique ; mais l'inverse peut également faire l'objet de recherches.

Quelques exemples constituant autant de pistes à poursuivre ou à développer avec toujours présent à l'esprit qu'une contrainte, loin de nuire à la créativité, aide à son développement en obligeant, entre autres, à un balayage complet d'un champ donné :

le palindrome, phrase ou mot qui se lisent dans les deux sens, est à comparer à toutes les récréations mathématiques sur les nombres jouissant de la même propriété.


(Crédit Pour la science)

Exercice : additionnez un nombre et son palindrome et recommencez avec le résultat obtenu jusqu'à ce qu'on arrive à un nombre palindrome. Y arrive-t-on toujours ?

1385 + 5831 = 7216
7216 + 6217 = 13343
13343 + 34331 = 47674

J'emprunte à Gilles HAINRY, avec son aimable autorisation, une variation sur les palindromes issus du nombre 37.Je rappelle que 73 est également premier et que ce couple 37 ; 73 ( nombres de Perec)  est le seul du type n ; 2*n - 1 où n est premier et engendre son palindrome par l'opération 2n - 1.

Tout nombre entier peut s'écrire sous la forme d'un palindrome, et souvent de nombreuses manières différentes. Le nombre 37, par exemple, peut s'écrire :

1 + 1 + 1 + 1 + . . . . . + 1 + 1 + 1 + 1 (où 1 apparait 37 fois)
ou 11 + 1 + 1 + 11 + 1 + 1 + 11 (où le chiffre 1 est utilisé 3 + 7 (ou 10) fois)

Si l'on veut utiliser d'autres chiffres que 1, on peut noter que 37 s'exprime aussi (entre autres) sous les formes :

11 + 2 + 11 + 2 + 11
12 + 4 + 21
61 - 8 - 16
72 - 8 - 27
(3 * 6) + 1 + (6 * 3)
(4 ^ 2) + 5 + (2 ^ 4)

Mais, revenons à l'égalité (111 / 3) = 37 ; elle montre que la suite des douze nombres :

0 * 37 ; 3 * 37 ; 6 * 37 ; 9 * 37 ; 12 * 37 ; 15 * 37 ;
18 * 37 ; 21 * 37 ; 24 * 37 ; 27 * 37 ; 30 * 37 et 33 * 37

est constituée de palindromes (dont un palindrome généralisé) ; ce sont en effet

0 ; 111 ; 222 ; 333 ; 444 ; 555 ; 666 ; 777 ; 888 ; 999 ; 1110 (ou 01110) et 1221.

Les dix premiers ne sont pas tout à fait anodins et le septième, 666, a souvent été considéré comme diabolique . Il est en effet à la fois multiple de 37 puisque 666 = 18 * 37 et somme des 37 premiers entiers car : 0 + 1 + 2 + 3 + .......... + 33 + 34 + 35 + 36 = 666.
Il est également somme des carrés des sept premiers nombres premiers :

666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17²

Mais aussi somme de cubes :

666 = 13+23+33+43+53+63+53+43+33+23+13

que l'on écrira sous la forme d'un palindrome :

(1*1*1)+(2*2*2)+(3*3*3)+(4*4*4)+(5*5*5)+(6*6*6)+(5*5*5)+(4*4*4)+(3*3*3)+(2*2*2)+(1*1*1)

Revenons à 37 pour noter que 37 + 73 donne pour résultat 110 (ou 0110) qui est un palindrome généralisé ; on a donc :

37 + 73 = 0110 = 37 + 73 qui se lit de gauche à droite ou de droite à gauche.

Terminons en observant les premières puissances de 111 :

1110 = 1 ; 1111 = 111 ; 1112 = 12321 ; 1113 = 1367631

Les résultats sont des nombres palindromes et l'on peut écrire les égalités palindromes :

12321 = 111 * 111 = 12321
1367631 = 111 * 111 * 111 = 1367631

le lipogramme vise à éliminer d'une oeuvre une ou plusieurs lettres données.

Toi qu'on connaît partout, ô divin artisan !
Tu nous as tous soumis à la loi d'un tyran...

Perec a su réaliser des poèmes, et même un livre entier, sans la lettre "e" (La Disparition), que certains ont pu lire sans s'apercevoir de quelle disparition il s'agissait ! Génial

Beaucoup de contraintes littéraires de ce type peuvent se retrouver dans les récréations mathématiques : tautogrammes, contrepèteries, anagrammes, hétérogrammes.

Un très bon exemple figure dans le n° 7 de JJM avec les nombreuses variations d'Henri Rossat sur le nombre 7744 dont j'extrais :

7744 = 4*44*44
7744 = (77*77)-77+44*44)-44

On peut également comparer ces exercices à celui de suites périodiques qui multipliées par un nombre ne font jamais apparaître l'un d'entre eux, ou dont la période et sa composition sont fixées à l'avance :

    lipogrammes en 3 et 6

    142857*2 = 285714
    142857*4 = 571428
    142857*5 = 714285
    142857*7 = 999999

    lipogrammes du type charades (6048+1729)2 = 60481729

    13 + 53+ 33 = 153

    Palindromes 11111*11111 = 123454321

      1961 et 1691 double symétrie**
      122*213 = 25986 et 68952 = 312*221
      44944 = 212
      2

Autres formes de lipogrammes : on peut s'imposer de ne pas utiliser une ou plusieurs lettres données (ou au contraire n'utiliser qu'elles à condition de sélectionner au moins une voyelle)  dans l'écriture d'un nombre. Toutes les langues peuvent ainsi se prêter à l'exercice, avec des difficultés variables selon la ou les lettres considérées.

C'est ainsi que les nombres ci-après peuvent s'écrire sans la lettre e. 1,3,5,6,8,10,18,20,23,25,26,28,1000000,1000001,1000003,
1000005,1000006,1000008,1000010,1000018,1000020,1000023,
10000025,10000026,1000028,3000000,3000001,3000003,3000005,
3000006,3000008,3000010 etc.

Nicolas Graner a même étudié de façon exhaustive l'écriture de ces nombres ainsi que ceux qui étaient premiers : une fabuleuse gageure car il a également démontré que la suite des nombres premiers était illimitée sans utiliser la lettre e  (cité dans Merveilleux nombres premiers de Delahaye , Belin, 2000). Son mémoire sur les liponombres est une référence incontournable.

Par suite d'une fréquence moindre de la lettre e dans la langue, la suite est plus fournie en anglais :

2,4,6,30,32,34,36,40,42,44,46,50,52,54,56,60,62,64,66,2000,2002,
2004,2006,2030,2032,2034,2036,2040,2042,2044,2046,2050,2052,2054,2056 etc.

Choisir des chiffres ou des lettres ayant un axe de symétrie et pouvant être lus à l'envers ou à l'endroit amène à un choix et correspond donc à un lipogramme.

La suite 0, I, 6, 8, 9, I0, II, I6, 18, I9, 60, 6I, 68, 69, 80, 8I, 88,  ..., garde une signification lorsqu'elle est lue dans un miroir par suite de l'axe de symétrie horizontale des chiffres 0, I, 8, et de la configuration symétrique  des chiffres 6 et 9.

Ainsi Eric Angélini et Daniel Lehman ont écrit dans des rubriques du Soir de Bruxelles des petits récits n'employant par exemples que les lettres AHIMOTUVWXY (à axe de symétrie verticale) ou BCDEHIKOX (à axe de symétrie horizontale) ou encore les chiffres 0134578 qui retournés produisent dans certaines fontes de caractères, les lettres OIEHSLB.

On peut ainsi traduire 73 5073I7 I77I5I87I 873553 703I7 par 

Le soleil illisible blesse l'œil.

 

le monovocalisme, à l'inverse du lipogramme il s'agit de n'utiliser qu'une voyelle donnée :

Le merle et le fennec (Gens des légendes)

Mère Merle, en chêne perché,
Serre en bec le Selles
Père Fennec, les sens tentés,
Célèbre et encense :" Respects, Mère Merle.
Très sélect et svelte, et belle !
Tes lèvres et tes pennes,
Engendre le rêve des bêtes
En ces mélèzes et en ces frênes"
Mère Merle se sent en fête ;
Et perd le sens, écervelée
Elle se penche et le chèvre descend.
Le Fennec prend en ses dents, et égrène : "Révérences, Merle,
Je me délecte et dépends des benêts :
Cette lèche-fesse est le dessert certes. "
Le Merle, berné et blessé,
Peste en serments de regrets éternels. (AZ)

Comment écrire de 3 façons différentes 31 en utilisant 4 fois le chiffre 5 ?
Comment écrire les nombres de 1 à 100 en utilisant 4 fois le chiffre 4 ?

les anagrammes :

Nacre, crane, rance, écran, carné ...
Gérant, gréant, Granet, Tanger, argent, ragent, ganter, regnat
11664 = 1082 16641 = 1292 41616 = 2042
722-272 = 962-692, également palindrome symétrique.

les hétérogrammes : il s'agit d'énoncé composé de lettres bien définies ne se répétant qu'après avoir toutes été utilisées. L'hétérogramme alphabétique parfait ou hétéropangramme serait une phrase de 26 lettres comprenant toutes les lettres de l'alphabet.

pangrammes :

Portez ce vieux whisky au juge blond qui fume.
The quick brown fox jumps over lazy dog.

hétérogramme :

Se vouer à toi ô coeur cruel
A toi couleuvre rose,
Rose au coeur violet
Va où surréel côtoie (Perec)

A rapprocher des égalités du type:

18*297 = 5346 27*1198 = 5346 12*483 = 5796 42*138 = 5796
51249876*3 = 153749628
1741725 = 1
7+77+47+17+77+27+57
(1+2-3-4)(5-6-7-8-9) = 100

Trouvez 10 façons d'écrire dans l'ordre les chiffres de 0 à 9 pour obtenir 100 en utilisant les opérateurs + - * / exp et les ( ) comme dans l'exemple ci-dessus.

Boule de neige, phrase dont la longueur des mots augmente puis diminue régulièrement, permettant l'arrangement calligraphique en triangle, losange ou polygone. Exercices analogues à ceux relatifs aux nombres triangulaires, rhopaliques...

 

A
la
mer
nous
avons
trempé
crûment
quelques
gentilles
allemandes
stupidement
bouleversées.
 (J. Bens)

 

1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211

Quelle est la ligne suivante ?   Dans laquelle le chiffre 4 apparaîtra-t-il ?

Releva
éleva
leva
éva
va
a

525*525 = 275625
275*275 = 75625
75*75 = 5625
25*25 = 625
5*5 = 25

En chantier les mérites comparés des mots croisés, des chiffres croisés, des mots chiffrés et de la cryptarithmie.

La littérature combinatoire avec les Cent mille milliards de poèmes de Queneau fait déjà l'objet de pages spécifiques sur ce site.

Enfin on ne peut dans cette rubrique passer sous silence d'un jeune professeur suisse, Pascal Kaeser,  qui a décrit de façon très complète toute une série de jeux mathématiques reliés à l'écriture et à la poésie par des contraintes d'ordre typiquement mathématiques. Ainsi, il utilise les pavages, les pentaminos, les graphes, les carrés magiques, le calcul matriciel, les permutations, pour produire des textes dans la droite ligne des propositions de l'OuLiPo.


* ordre alphabétique inverse, pour une fois !
** trouver d'autres couples de ce type

Bibliographie

Pascal Kaeser. Nouveaux exercices de style, Diderot (1997)
J Bens. OULIPO (1960-1963) Bourgeois 1980
J.Bens. Guide des jeux d'esprit Albin Michel 1967
M. Laclos. Jeux de lettres jeux d'esprit Simoen 1977
OULIPO. La littérature potentielle Gallimard 1973
OULIPO. Atlas de littérature potentielle Gallimard 1981